군 (Group), 환 (Ring), 체 (Field)

목차

 

군 (Group), 환 (Ring), 체 (Field)

• 군
• 환
• 체

 

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군 (Group), 환 (Ring), 체 (Field)

 

- 군 (Group)

공집합이 아닌 어떤 집합 \(\mathit{G}\) 가 이항 연산(binary operation) '\(\cdot\)' 에 대해 아래의 조건을 만족하는 경우

집합과 이항 연산을 묶은 \((\mathit{G}, \cdot)\) 를 군(group)이라고 합니다.

 

\(\mathit{G}\) 의 임의의 원소 \(x, y, z\)에 대해

 

1. 연산에 대해 닫혀있다(closed) :  \(x \cdot y \) 또한 \(\mathit{G}\) 에 속한다.

2. 결합 법칙(associative property)이 성립한다 : \((x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)\)

3. 항등원(Identity element)이 존재한다 : \(\mathit{G}\) 에 속하는 \(e\)에 대해,  \(x \cdot e = e \cdot x = x\)

4. 역원(inverse element)이 존재한다 : \(\mathit{G}\) 에 속하는 \(x^\prime\)에 대해, \(x \cdot x^\prime = x^\prime \cdot x = e \)

 

또 만약 여기서 군 \((\mathit{G}, \cdot)\)이 연산에 대해 교환 법칙(commutative property)을 만족할 경우, 이를 가환 군(commutative group) 또는 아벨 군(abelian group)이라고 합니다.

 

새로운 용어가 살짝 당황스러우실 거 같아서 하나 하나 풀어서 설명해드리도록 하겠습니다.

 

• 교환 법칙(commutative property) : \(x \cdot y = y \cdot x\)

• 이항 연산(여기서는 그냥 연산이라고 부르겠습니다)이란 임의의 두 원소를 대상으로 하여 새로운 원소를 만들어 내는 행위를 의미합니다. 우리가 흔히 아는 대표적인 이항연산으로는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 등이 있습니다.

 

• 연산에 대해 닫혀있다(closed)라는 것은 어떤 집합에 속하는 두 원소를 가지고 연산을 하였을 때, 연산으로 인해 생긴 결과 또한 그 집합에 속한다는 것을 의미합니다. 예를 들면 실수 전체 집합이 있다고 가정해 봅시다. 실수 전체 집합의 임의의 두 원소 또한 실수일 것이고, 이 두 실수를 더해서 생긴 결과 또한 실수일 것입니다. 즉, 실수는 덧셈이라는 연산에 대해 닫혀있다고 말할 수 있습니다.

 

• 위에서 \(e\)로 표현된 항등원이란, 임의의 원소와(\(x\)) 항등원 (\(e\))을 연산 하였을 때 연산의 결과로 항등원과 연산한 원소 (\(x\))를 나오게 하는 원소를 의미합니다. 예를 들어, 자연수 집합에서 곱셈 연산에 대한 항등원은 1이라고 할 수 있습니다. 임의의 자연수에 1을 곱하면 항상 자기 자신이 나오기 때문입니다.

 

• 역원이란, 임의의 원소와 역원을 연산한 결과가 항등원이 되게 하는 원소를 의미합니다.

 

 

- 환 (Ring)

공집합이 아닌 어떤 집합 \(\mathit{R}\) 이 덧셈과 곱셈에 대해 아래의 조건을 만족하는 경우

\((\mathit{R}, +,  \times)\) 를 환(Ring)이라고 합니다.

 

\(\mathit{R}\) 의 임의의 원소 \(x, y, z\)에 대해

 

1. 덧셈 연산과 아벨 군을 이룬다. (다시 말해, 덧셈에 대해 닫혀 있고 결합 법칙이 성립하며 항등원과 역원이 존재하고 교환 법칙까지 성립하는 경우를 말합니다)

 

2. 곱셈 연산에 대해 닫혀 있고,

    결합 법칙이 성립한다 : \((x y) z = x (y z)\)

 

3. 덧셈과 곱셈 연산에 대해,

    분배 법칙이 성립한다 : \(x (y + z) = x y + x z\),

                                                \((x + y) z = x z + y z\)

 

여기에 추가적으로 환 \((\mathit{R}, +,  \times)\)이 곱셈에 대한 교환 법칙이 성립하는 경우 : \(x y = y x \)

이러한 환을 가환환(commutative ring)이라고 하고,

 

환이 곱셈에 대해 항등원이 존재하는 경우 : \(\mathit{R}\) 에 속하는 1에 대해, \(x1 = 1x = x\)

이러한 환을 단위원을 갖는 환(ring with unity) 또는 단위환이라고 하며

여기서 곱셈에 대한 항등원을 단위원(unity)이라고 합니다.

 

추가로, 단위원을 갖는 환에서 , 곱셈에 대한 역원 \(x a = a x = 1\)인 \(a\)가 집합 \(\mathit{R}\) 에 속하면 이 때의 \(x\)를 가역원이라고 합니다.

 

 

- 체 (Field)

공집합이 아닌 어떤 집합 \(\mathit{F}\) 이 가환환이고 \(\mathit{F}\)에서 0을 제외한 모든 원소가 가역원이 될 수 있는 경우

다시 말해, 덧셈과는 아벨군을 이루고,

덧셈과 곱셈에 대한 분배 법칙이 성립하며,

곱셈에 대해서는 닫혀 있으면서 동시에 교환 법칙과 결합 법칙이 성립하고,

또 곱셈의 항등원이 존재하면서

0이 아닌 모든 원소에 대해 곱셈의 역원이 존재하는 경우를 의미하며 (숫자 0에는 무엇을 곱하여도 항등원이 될 수 없기에 0은 제외하고 말합니다.)

 

이럴 경우 \((\mathit{F}, +,  \times)\) 를 체(field)라고 합니다.

 

참고로 체에서 곱셈에 대한 항등원은 유일하며, 0이 아닌 원소에 대한 곱셈의 역원도 유일합니다.

또 체에서 덧셈에 대한 항등원도 유일하며, 덧셈에 대한 역원 또한 유일합니다.

 

 

체를 이루는 대표적인 집합은 실수 집합, 유리수 집합, 복소수 집합이 있습니다.

 

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이 포스팅은 'linear algebra and its applications 5th edition'을 보고 공부한 내용을 정리하여 작성하였습니다.