Linear Equation(선형 방정식), Linear System(선형 계)

목차

 

Linear Equation

• linear equation
• nonlinear equation

 

Linear System

• linear system
• solution
• consistent, inconsistent
• equivalent

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Linear Equation (선형 방정식)

 - linear equation

linear equation이란

\(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+···+a_nx_n = b\) 의 식과 같이

최고 차항의 차수가 1인 변수들의 덧셈, 뺄셈으로 이루어진 다항 방정식을 의미합니다.

(여기서 계수(coefficient)인 \((a_1, a_2, a_3,···, a_n\))과 \(b\)는 실수 혹은 복소수 입니다.)

 

또, 위의 식에서 좌변에 해당하는 \(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+···+a_nx_n\) 와 같은 형태를 linear combination이라고 합니다. 

 

- nonlinear equation

이와 반대로 nonlinear equation은

\(x_2 = 2\sqrt{x_1} + 6\) 이나 \(x_1+2x_2 = x_1x_2\) 처럼 최고 차항의 차수가 1이 아닌 변수들이 있는 방정식을 의미합

다.

Linear System (선형 계)

- linear system

linear system이란 여러개의 linear eqaution이 모여서 연립된 형태를 의미합니다.

예를 들면,

\(x_1 - 2x_2 = -1\) and

\(x_1 + 8x_2 = 3\) 과 같은 형태를 linear system이라고 합니다.

 

- solution

linear system을 풀었을 때 구할 수 있는 solution에는 세 가지 경우가 있는데

1. solution이 존재하지 않는 경우,

2. solution이 정확히 한 개인 경우,

3. solution이 무수히 많은 경우입니다.

 

더 자세한 이해를 돕기 위해 몇 개의 linear system을 풀어봅시다.

 

1. solution이 존재하지 않는 경우의 linear system

\(x_1 - 2x_2 = -1\) and

\(-x_1 + 2x_2 = 3\)의 그래프는 아래와 같습니다.

 

그래프를 보면 두 linear eqaution은 만나지 않으며 이는 곧 solution이 존재하지 않다는 것을 의미합니다.

 

2. solution이 정확히 1개인 경우의 linear system

\(x_1 - 2x_2 = -1\) and

\(-x_1 + 3x_2 = 3\)의 그래프는 아래와 같습니다.

 

그래프를 보면 x1 = 3인 지점에서 x2 = 2임을 아실 수 있습니다. 이럴 경우 solution은 x1 = 3, x2 = 2가 되고 이는 정확히 하나만 존재합니다.

 

3. solution이 무수히 많은 경우의 linear system

\(x_1 - 2x_2 = -1\) and

\(-x_1 + 2x_2 = 1\)의 그래프는 아래와 같습니다.

 

그래프를 보면 두 그래프가 겹치는 것을 알 수 있고, 이럴 경우 solution은 무수히 많아집니다.

 

- solution set

가능한 모든 solution들의 집합을 solution set이라고 합니다.

solution set에 관한 내용은 이후의 포스팅에서 다른 예제와 함께 더 자세히 설명하도록 하겠습니다.

 

- consistent, inconsistent

위에서 solution의 세가지 경우와 간단한 예시를 알아보았는데

solution이 존재하지 않는 경우를 system이 inconsistent 하다고 하며

solution이 1개 또는 무수히 많은 경우를 system이 consistent하다고 합니다.

 

- equivalent

linear system들이 equivalent하다는 표현이 쓰이기도 하는데,

이는 단순히 여러 개의 linear system들이 같은 solution set을 가지는 경우를 의미합니다.

 

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이 포스팅은 'linear algebra and its applications 5th edition'을 보고 공부한 내용을 정리하여 작성하였습니다.