Matrix Notation (행렬 표기법)

목차

 

Matrix Notation

• matrix
• coefficient matrix
• augmented matrix
• matrix notation을 사용하는 이유

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이전 포스팅에서는 linear equation과 linear equation이 연립된 형태인 linear system에 대해 다뤘습니다.

이번에는 linear system을 matrix notation으로 표기하는 방법에 대해 다뤄보고자 합니다.

Matrix Notation (행렬 표기법)

- matrix

matrix notation에 들어가기에 앞서, matrix(행렬)에 대해 간단히 설명하도록 하겠습니다.

matrix란

\begin{bmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
a_{m,1} & a_{m,2}& \cdots & a_{m,n} 
\end{bmatrix}

와 같이 사각형 모양으로 값들을 나열한 것입니다.

여기서 \(a_{1,1}\)  \(a_{1,2}\)  \(\cdots\)  \(a_{1,n}\) 나

\(a_{m,1}\)  \(a_{m,2}\)  \(\cdots\)  \(a_{m,n}\)와 같은 가로 단위를 행(row)이라고 하고

위의 두 행은 각각 첫번째 행, m번째 행이라고 합니다.

 

또한, 

\(a_{1,1}\)             \(a_{1,n}\)

   \(\vdots\)  이나       \(\vdots\)   

\(a_{m,1}\)            \(a_{m,n}\)

 

와 같은 세로 단위는 열(column)이라고 하며 위의 두 열은 각각 첫번째 열, n번째 열이라고 합니다.

 

추가로 알파벳 \(a_{i,j}\)는 행렬의 i번째 행, j번째 열의 성분(entry) 혹은 원소(element)라고 합니다. 

- coefficient matrix (matrix of coefficients)

coefficient matrix는 linear system에 있는 coeifficient(계수)들만 따로 빼서 적은 matrix입니다.

예를 들면,

$$ x_1 - 2x_2 + x_3 = 0 $$

$$2x_2 - 8x_3 = 8$$

$$5x_1 - 5x_3 = 10$$이라고 하는 linear system에서

 

첫번째 줄의 linear equation의 coefficient인 1, -2, 1 을 첫번째 행에,

두번째 줄의 linear equation의 coefficient인 0, 2, -8 을 두번째 행에

(두번째 줄의 linear equation에는 \(x_1\)이 존재하지 않고 이는 \(x_1\)에 0을 곱한 것과 같기 때문에 coefficient는 0입니다.)

세번째 줄의 linear equation의 coefficient인 5, 0, -5 을 세번째 행에 적는 표기법으로

아래와 같이 표기할 수 있습니다.

\begin{bmatrix}
1 & -2 & 1 \\
0 & 2 & -8 \\
5 & 0 & -5
\end{bmatrix}

 

- augmented matrix

augmented matrix는 위에서 말한 coefficient matrix에서 우변에 있는 상수까지 포함하여 표현한 matrix입니다.

예를 들면,

\begin{bmatrix}
1 & -2 & 1 & 0\\
0 & 2 & -8 & 8\\
5 & 0 & -5 & 10
\end{bmatrix}

이런 식으로 나타낸 것을 의미합니다.

위의 coefficient matrix와 비교해 보면 첫번째에서 세번째 열까지는 동일하고 거기에 하나의 열이 추가된 것을 보실 수 있습니다. 또한 추가된 네번째 열은 linear system의 우변에 있는 상수들과 동일하다는 것도 아실 수 있을 겁니다.

-  matrix notation을 사용하는 이유

지금까지의 설명에서 의문점이 드실 수 있습니다.

"굳이 왜 matrix notation으로 표현을 해야 할까?"라는 의문이죠

matrix notation을 사용하는 이유는 linear system의 solution set을 구할 수 있기 때문입니다.

예를 들어, linear system을 augmented matrix 형태로 표현하고,  augmented matrix에 '특정한 변형'을 가하면

linear system의 solution set을 구할 수 있습니다.

여기서 말하는 '특정한 변형'을 row reduction이라고 하는데 다음 포스팅에서는 이것이 무엇인지에 대해 알아보겠습니다.

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이 포스팅은 'linear algebra and its applications 5th edition'을 보고 공부한 내용을 정리하여 작성하였습니다.