Vector Space (벡터 공간), Vector (벡터)

목차

 

Vector Space (벡터 공간)

• vector space

 

Vector (벡터)

• vectors in \(\mathbb{R}^n\)
• geometric description

 

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벡터라는 단어는 살면서 한 번쯤은 들어보셨을 법한 단어입니다.

고등학교 수학이나 물리에서는 이러한 벡터를 방향과 크기를 가지는 물리량이라고 보통 배우실 텐데요

사실 이는 벡터에 대한 아주 좁은 범위의 정의에 해당합니다.

이번 포스팅에서는 벡터에 대한 좀 더 넓은 범위의 정의에 대해 알아보도록 하겠습니다.

Vector Space (벡터 공간)

- vector space

벡터를 이해하기 위해 우선 벡터 공간에 대해 알아야 합니다.

벡터 공간이란,

어떠한 체 \(\mathit{F}\) 에 대해 집합 \(\mathit{V}\) 가 합 연산과 스칼라 곱(scalar multiplication)에 대해 아래의 공리(axiom)를 모두 만족하는 경우

(체 \(\mathit{F}\) 의 원소를 스칼라라고 합니다)

이러한 집합 \(\mathit{V}\) 를 vector space(벡터 공간)이라고 하고, vector space에 속하는 원소들을 vector(벡터)라고 합니다.

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벡터 공간의 공리

체 \(\mathit{F}\) 에 속하는 임의의 원소 \(a, b\)와 집합 \(\mathit{V}\) 에 속하는 임의의 원소 \(x, y, z\)에 대해

 

1) \(x + y = y + x\)

2) \((x + y) + z = x + (y + z)\)

3) \(x + 0 = 0 + x = x\) 인 \(0\)이 \(\mathit{V}\) 에 존재한다. (덧셈에 대해 항등원 0이 존재한다)

4) \(x + w = 0\) 인 \(w\)가 \(\mathit{V}\) 에 존재한다. (덧셈에 대해 역원 \(w\)가 존재한다)

5) \(1x = x\) (스칼라 곱에 대해 항등원 1이 존재한다)

6) \((ab)x = a(bx)\)

7) \(a(x + y) = ax + ay\)

8) \((a + b)x = ax + bx\)

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전제

1) 덧셈에 대해 닫혀있다 ( \(\mathit{V}\) 에 속하는 임의의 두 원소를 더한 결과도 \(\mathit{V}\) 에 속한다)

2) 스칼라 곱에 대해 닫혀있다 ( \(\mathit{F}\) 에 속하는 임의의 원소와 \(\mathit{V}\)에 속하는 임의의 원소를 스칼라 곱한 결과도 \(\mathit{V}\) 에 속한다)

 

벡터 공간이 되려면 8가지의 공리뿐 아니라 위의 두 가지 전제 또한 만족해야 합니다.

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위의 공리를 모두 만족시키는 벡터 공간 \(\mathit{V}\) 를 \(\mathit{F}\) - 벡터 공간이라고 합니다.

 

여기서, 위의 공리에 대해 몇 가지 더 짚고 넘어가자면,

공리 3)의 항등원의 경우를 영벡터 라고 하며, 이 영벡터는 벡터 공간에 대해 오직 하나(unique)뿐이고.

공리 4)의 역원을 역벡터라고 하며, 이 역벡터도 각각의 벡터에 대해 오직 하나(unique)이며 임의의 벡터 \(x\)에 대한 역벡터는 \(-x\)로 표현할 수 있습니다.

 

영벡터의 Uniqueness(유일함)는 다음과 같이 증명할 수 있습니다.

 

영벡터의 Uniqueness 증명

우선, 서로 다른 영벡터가 \(0, 0^\prime\) 으로 2개 있다는 가정에서 출발해보면

공리 3)에 의해 \(0, 0^\prime\)은 둘 다 벡터 공간 \(\mathit{V}\) 에 있으므로 영벡터들 또한 공리를 만족합니다.

따라서 \(x + 0 = 0\)의 수식에서 \(x\)에 \(0^\prime\)을 대입해보면 \(0^\prime + 0 = 0\)이 되고,

\(x + 0 = 0\)의 수식에서 영벡터 자리에 \(0^\prime\)을 대입하고 \(x\)에 \(0\)을 대입하면 \(0 + 0^\prime = 0^\prime\)이 되며,

공리 1)에 의해 \(0^\prime + 0 = 0 + 0^\prime\)이 성립하므로,

\(0 = 0^\prime + 0 = 0 + 0^\prime = 0^\prime\) 즉, \(0 = 0^\prime\)이 되어 \(0\)과 \(0^\prime\)이 다르다는 가정에 모순이 생겨 영벡터는 유일하다는 것을 알 수 있습니다.

 

역벡터의 Uniqueness 증명

역벡터의 Uniqueness(유일함)도 물론 증명 가능합니다.

\(x\)라는 벡터의 역벡터가 \(w, w^\prime\)으로 두 개 있다고 가정하면,

공리 3)에 의해 \(w = w + 0\)이고 공리 4)에 의해 \(0 = x + w^\prime\)이므로

\(w = w + 0 = w + (x + w^\prime) = (w + x) + w^\prime = 0 + w^\prime = w^\prime\) 즉, \(w = w^\prime\)이 되어

\(w\)와 \(w^\prime\)이 다르다는 가정에 모순이 생겨 역벡터 또한 유일하다는 것을 알 수 있습니다.

 

이렇게 정의한 벡터 공간의 정의에 따르면

 

행렬도 벡터가 될 수 있습니다.

예를 들어 m by n 행렬 (m개의 행과 n개의 열을 가진 행렬)

 

\(A = \begin{bmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix} \) 와

 

\(B = \begin{bmatrix}
b_{11} & \cdots & b_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
b_{m1} & \cdots & b_{mn}
\end{bmatrix} \) 가 있다고 했을 때,

 

행렬의 합 \(A + B\)를 \(\begin{bmatrix}
a_{11} + b_{11} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} + b_{m1} & \cdots & a_{mn} + b_{mn}
\end{bmatrix} \) 로 정의하고,

 

체 \(\mathit{F}\) 에 속하는 원소 \(c\)에 대해, 행렬의 스칼라 곱  \(cA\)를 \(\begin{bmatrix}
ca_{11} & \cdots & ca_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
ca_{m1} & \cdots & ca_{mn}
\end{bmatrix} \) 로 정의하면,

 

행렬 집합은 합과 스칼라 곱 연산에 대해 닫혀 있고

또, 위의 8가지 공리를 만족하므로 행렬 집합 또한 벡터 공간이 되며

행렬도 벡터로 볼 수 있습니다.

 

Vector (벡터)

위에서 정의한 벡터는 우리가 기존에 알던 의미에 비해 훨씬 더 일반적이고 추상적인 의미를 지니게 되고

추상적인 의미는 직관적으로 받아들이기 어렵기 때문에

벡터의 개념을 실수 체 (Field)에 대한 유클리드 공간과 연관지어 설명하도록 하겠습니다.

(우리가 흔히 수학 시간에 배우는 2차원, 3차원 공간들이 유클리드 공간에 해당한다고 보시면 될 거 같습니다)

 

또, 위의 벡터 공간에 대한 정의에서 행렬 또한 벡터에 해당한다고 하였는데

이러한 사실로부터 앞으로는 벡터를 행렬의 특수한 형태로 표현하도록 하겠습니다.

- vectors in \(\mathbb{R}^n\)

먼저 \(\mathbb{R}^n\)이란, 쉽게 말해 실수로 이루어진 n차원으로 이해하시면 될 것 같습니다.

에를 들어,

\(\mathbb{R}^2\)은 평면으로, \(\mathbb{R}^3\)은 공간(예를 들면, 3개의 축 (\(x, y, z\))으로 이루어진 공간)으로 이해하시면 될 것 같습니다.

 

우선은 \(\mathbb{R}^2\)의 벡터에 대해 먼저 다루겠습니다.

 

\(\mathbb{R}^2\)의 벡터는 2개의 행과 1개의 열을 가진 형태의 행렬입니다.

예를 들면, \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix}
v_1 \\
v_2 \\
\end{bmatrix} \) 와 같은 형태를 벡터라고 하고, 더 정확히 말하자면 1개의 열만 가지고 있다고 하여 열 벡터(column vector)라고 합니다.

사실 벡터는 열벡터만 있는 것은 아닙니다.

\(\mathbf{u} = \begin{bmatrix}
u_1 & u_2
\end{bmatrix}\) 처럼

1개의 행과 여러 개의 열로 이루어진 행 벡터(row vector)또한 존재하는데

 

보통 특별한 언급 없이 그냥 벡터(vector)라고 하면 열 벡터를 의미합니다.

 

\(\mathbb{R}^3\)의 벡터도 표기는 크게 다르지 않습니다. 단지 원소 하나를 추가하기만 하면 됩니다.

이를 테면, \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix}
v_1 \\
v_2 \\
v_3
\end{bmatrix}\) 와 같이 표현하면 됩니다.

 

이를 일반화 하면, \(\mathbb{R}^n\)의 벡터는 \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix}
v_1 \\
\vdots \\
v_n
\end{bmatrix}\) 와 같이 표현하면 됩니다.

 

-  geometric description

\(\mathbb{R}^2\) space에서 \(x_1, x_2\)라는 특정한 벡터가 있다고 하고, 이 둘은 서로의 상수배가 아니라고 합시다 (이를 선형 독립이라고 하고 이는 나중에 다루겠습니다.)

어떤 \(\mathbb{R}^2\) space 평면에 \(x_1, x_2\)가 아래의 그림과 같이 있다고 한다면

특정한 벡터 \(\mathbf{a} = \begin{bmatrix}
2x_1 \\
x_2
\end{bmatrix}\)의 기하학적인 의미는 아래와 같습니다.

 

 

 

\(\mathbf{a} = \begin{bmatrix}
2x_1 \\
x_2
\end{bmatrix}\)의 의미는 \(\mathbf{a}\)라는 벡터가 \(x_1, x_2\)라는 축을 기준으로 \(x_1\)의 방향으로 2의 단위 만큼, \(x_2\)의 방향으로 1의 단위 만큼을 가진다는 의미이고

이는 \(\mathbb{R}^2\) space 에서, 위의 빨간색 화살표와 같은 의미를 지닙니다.

 

 

또한, 이는 마치 아래와 같이 \(x, y\)축을 가지는 좌표계에서

\(A = (2,1)\)라는 점 A의 의미와 유사합니다.

A라는 점의 의미는 x축의 단위로 2만큼, y축의 단위로 1만큼을 가진다는 것이고

이를 좌표계에 나타낸 것이 (2,1)이라는 점이 되는 것입니다.

 

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이 포스팅은 'linear algebra and its applications 5th edition'을 보고 공부한 내용을 정리하여 작성하였습니다.