Span (생성), Subspace (부분 공간)

목차

 

Span

• linear combination
• span
• geometric description of span

 

Subspace

• subspace
• subspace와 span의 관계

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Span(생성)

- linear combination

linear combination이란, 벡터 공간 $\mathit{V}$ 에 ${\mathbf{v}}_{\mathbf{1}},{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}},\cdots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}$라는 벡터들과

체 $\mathit{F}$ 에 $c_1,c_2,\cdots ,c_n$라는 스칼라들이 있을 때,

$c_1{\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}+c_2{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}+\cdots +c_n{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}$과 같이

벡터에 스칼라 곱을 한 것의 combination을 의미합니다.

 

참고로, 여기서 스칼라 $c_1,c_2,\cdots ,c_n$를 계수(coefficient) 또는 가중치(weight)라고 하며

$c_1{\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}$과 같이 하나의 스칼라와 하나의 벡터의 곱으로 표현된 형태도 linear combination이라고 합니다

 

- span

${\mathbb{R}}^n$의 어떤 부분 집합 $\{{\mathbf{v}}_{\mathbf{1}},{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}},{\mathbf{v}}_{\mathbf{3}},\cdots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}\}$이 존재할 때, 

이 때의 벡터 $\{{\mathbf{v}}_{\mathbf{1}},{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}},{\mathbf{v}}_{\mathbf{3}},\cdots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}\}$와 모든 스칼라로 만들 수 있는

가능한 모든 linear combination들의 집합을 span$\{{\mathbf{v}}_{\mathbf{1}},{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}},{\mathbf{v}}_{\mathbf{3}},\cdots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}\}$ 또는

$\{{\mathbf{v}}_{\mathbf{1}},{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}},{\mathbf{v}}_{\mathbf{3}},\cdots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}\}$의 spanning set이라고 합니다.

 

- geometric description of span (span의 기하적 묘사)

실수 체에 대한 ${\mathbb{R}}^3$ space에 $\mathbf{v}$와 ${\mathbf{u}}_{\mathbf{1}},{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}$라는 벡터가 아래와 같이 있다고 생각해 보겠습니다.

 

먼저 $\mathbf{v}$의 경우 가능한 linear combination을 생각해보면,

실수 체에 대한 스칼라는 실수가 되므로 아래 그림 처럼 $2\mathbf{v},0.5\mathbf{v},-1\mathbf{v},\cdots$등이 가능할 것이고

 

span$\left\{\mathbf{v}\right\}$는 모든 가능한 linear combination의 집합이므로 결국 아래와 같은 직선으로 표현할 수 있습니다.

span$\{{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}},{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}\}$는 이를 조금 더 확장시켜서 이해해 보겠습니다.

${\mathbf{u}}_{\mathbf{1}},{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}$의 linear combination을 생각해 보면, $c_1{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}+c_2{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}$의 형태로 나오는데

이는 ${\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}$의 linear combination인 $c_1{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}$에

${\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}$의 linear combination인 $c_2{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}$가 더해진다고 생각할 수 있습니다

 

여기서 ${\mathbf{u}}_{\mathbf{1}},{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}$의 모든 가능한 linear combination에 대해 생각해 보면,

${\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}$ 하나만 있을 때의 모든 가능한 linear combination인 span$\left\{{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}\right\}$은 직선이 되고,

이에 span$\left\{{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}\right\}$에 ${\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}$의 linear combination을 더했다고 생각해 본다면

아래 그림과 같이 직선을 평행이동한 것으로 해석할 수 있습니다.

더 나아가, span$\{{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}},{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}\}$은 가능한 모든 linear combination의 집합이므로,

span$\left\{{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}\right\}$의 직선에 가능한 모든 ${\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}$의 linear combination을 더한 것과 같고,

이는 결국 아래 그림과 같이 나타낼 수 있습니다.

그림에서 보시다시피 span$\{{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}},{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}\}$가 나타내는 것은 평면에 해당합니다.

 

Subspace(부분 공간)

 

- subspace

이번에는 부분 공간에 대해 알아보겠습니다.

부분 공간은 단어의 이름만 보아도 알 수 있듯이 어떤 전체 공간에 속한 부분적인 공간을 의미합니다.

또한, 이름에 공간이 들어가기 때문에 전체 공간의 성질을 부분 공간 또한 만족해야 합니다.

 

여기서 부분 공간의 의미는 벡터 공간에 대한 부분 공간이라는 의미로서,

이에 대한 정의는 다음과 같습니다.

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부분 공간의 정의

 

어떤 벡터 공간 $\mathit{V}$ 의 부분 집합 $\mathit{W}$ 가 벡터 공간 $\mathit{V}$ 에서 정의된 합과 스칼라 곱을 가지고,

벡터 공간 $\mathit{V}$의 공리를 만족하는 경우 이 부분 집합 $\mathit{W}$ 을 $\mathit{V}$ 의 부분 공간이라고 한다.

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위의 정의에서 부분 집합과 부분 공간을 헷갈리시면 안됩니다.

그 이유는 벡터 공간의 부분 집합이 공간의 특성을 만족하리라는 보장이 없기 때문입니다.

예를 들어, 실수 체에 대한 ${\mathbb{R}}^2$ 이라는 공간의 부분집합 $\mathit{W}$ 를 $\{\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]\}$ 라고 해보겠습니다.

이 경우에 $\mathit{W}$ 는 벡터 공간의 공리 중에서 항등원에 대한 공리를 만족하지 않습니다.

 

$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$과 $\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]$의 항등원은 $\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$인데 $\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$은 $\mathit{W}$ 에 들어 있지 않기 때문입니다.

 

따라서, 부분 집합 $\mathit{W}$ 가 부분 공간이 되는지를 확인하기 위해서는 벡터 공간의 공리를 만족하는지 확인해야 하지만, 그렇다고 해서 8가지 공리를 하나 하나 확인할 필요는 없습니다.

 

이는 부분 집합이라는 이유만으로도 8가지 공리 중에서 덧셈의 교환 법칙이나 결합 법칙,

스칼라 곱의 교환 법칙이나 결합 법칙 등 많은 공리를 만족하기 때문입니다.

 

결론적으로, 부분 집합 $\mathit{W}$ 는 아래의 3가지 조건만 만족하면 부분 공간으로 여겨질 수 있습니다.

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$\mathit{W}$ 가 부분 공간이 될 조건 (필요 충분 조건)

 

조건 1) 영벡터가 $\mathit{W}$ 에 속한다.

조건 2) $\mathit{W}$ 가 덧셈에 대해 닫혀있다. 

조건 3) $\mathit{W}$ 가 스칼라 곱에 대해 닫혀있다.

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참고로 조건 3에서부터 덧셈에 대한 역원의 존재성 또한 확인할 수 있습니다.

$\mathit{W}$ 의 임의의 원소 $x$에 대해 $x$에 $-1$을 스칼라 곱 하면 $-x$가 되고 이는 역벡터와 같으며,

부분 공간은 스칼라 곱에 대해 닫혀있으므로 역벡터인 $-x$ 또한 $\mathit{W}$ 에 속하게 되니,

벡터 공간의 역벡터에 대한 공리를 만족하게 됩니다.

 

- subspace와 span의 관계

실수 체에 대한 ${\mathbb{R}}^n$ space에 ${\mathbf{u}}_{\mathbf{1}},{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}$이라는 벡터가 있고,

span$\{{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}},{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}\}$ = $\mathit{H}$ 로 두면, $\mathit{H}$ 는 ${\mathbb{R}}^n$의 subspace가 됩니다.

 

이에 대한 증명은 다음과 같습니다.

우선 $\mathit{H}$ 에는 영벡터가 포함되어 있습니다.

$\mathit{H}$ 에는 $0{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}+0{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}$라는 linear combination이 포함되어 있고 이는 곧 영벡터와 같기 때문입니다.

따라서 부분 공간의 첫번째 조건을 만족합니다.

 

다음으로, 임의의 스칼라 값 $s_1,s_2$와 $t_1,t_2$에 대해

$\mathit{H}$ 에 있는 임의의 두 벡터를 $\mathbf{v}=s_1{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}+s_2{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}$로, $\mathbf{w}=t_1{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}+t_2{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}$로 두면

$\mathbf{v}+\mathbf{w}=(s_1+t_1){\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}+(s_2+t_2){\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}$가 성립하며

이 $\mathbf{v}+\mathbf{w}$또한 $\mathit{H}$ 에 속하므로 부분 공간의 두번째 조건인 덧셈에 대해 닫혀 있다는 것을 만족합니다.

 

마지막으로, 임의의 스칼라 $c$에 대해 위의 벡터 $\mathbf{v}$를 스칼라 곱하면

$c\mathbf{v}=c(s_1{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}+s_2{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}})=(c{s}_1){\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}+(c{s}_2){\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}$가 되고

이 $c\mathbf{v}$ 또한 $\mathit{H}$ 에 속하므로 부분 공간의 세번째 조건인 스칼라 곱에 대해 닫혀 있다는 것을 만족합니다.

 

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이 포스팅은 'linear algebra and its applications 5th edition'을 보고 공부한 내용을 정리하여 작성하였습니다.