Types of Matices (행렬의 유형)

목차

 

Types of Matrices

• Square Matrix
• Diagonal Matrix
• Identity Matrix
• Zero Matrix
• Triangular Matrix
• Elementary Matrix

 

 

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Types of Matrix

 

- Square Matrix (정사각 행렬)

square matrix란 행의 수와 열의 수가 같은 matrix를 의미합니다.

아래와 같은 matrix의 경우 행의 수와 열의 수가 3으로 같으므로 square matrix에 해당합니다.

 

\(\begin{bmatrix}
9 & 5 & 3 \\
4 & 2 & 1 \\
2 & 7 & 8
\end{bmatrix} \)

- Diagonal Matrix (대각 행렬)

diagonal matrix에 대해 말하기 전에, 우선 main diagonal에 대해 설명하도록 하겠습니다.

 

\(\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}
\end{bmatrix} \)

위와 같은 행렬이 있다고 했을 때, \(a_{11}, a_{22}, a_{33}\) 처럼 \(a_{ii}\) 형태로 표현되는 entry를

main diagonal(= diagonal entry, 주대각성분)라고 합니다.

 

diagonal matrix란 diagonal entries가 아닌 entries가 모두 0인 square matrix를 의미합니다.

아래와 같은 matrix가 diagonal matrix에 해당합니다.

 

\(\begin{bmatrix}
9 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 8
\end{bmatrix} \)

주의할 점은, main diagonal의 경우 square matrix가 아닌 경우에도 존재하지만, diagonal matrix는 square matrix여야만 한다는 점입니다.

 

- Identity Matrix (단위 행렬)

identity matrix란 main diagonal이 모두 1인 diagonal matrix를 의미합니다.

diagonal matrix의 일종이기 때문에, main diagonal 이외의 모든 entries가 0이어야 하며, square matrix여야 합니다.

\(n \times n\) identity matrix의 경우 \(I_n\)으로 표기하기도 합니다.

아래와 같은 matrix는 \(I_3\)에 해당합니다.

 

\(\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \)

- Zero Matrix (영 행렬)

zero matrix란 모든 entries가 0인 matrix를 의미합니다. 행렬의 형태와 상관 없습니다. (square matrix 아니어도 됩니다.)

아래와 같은 matrix가 zero matrix에 해당합니다.

 

\(\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \)

- Triangular Matrix (삼각 행렬)

triangular matrix란 main diagonal보다 위쪽 혹은 아래쪽에 있는 모든 entries가 모두 0인 square matrix를 의미합니다.

main diagonal보다 아래쪽에 있는 모든 entries가 모두 0인 경우를 upper triangular matrix (상삼각행렬),

main diagonal보다 위쪽에 있는 모든 entries가 모두 0인 경우를 lower triangular matrix (하삼각행렬)라고 합니다.

아래의 matrices에서 왼쪽의 경우가 upper triangular matrix, 오른쪽의 경우가 lower triangular matrix에 해당합니다.

 

\(\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
0 & a_{22} & a_{23} \\
0 & 0 & a_{33}
\end{bmatrix} \)              \(\begin{bmatrix}
a_{11} & 0 & 0 \\
a_{21} & a_{22} & 0 \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix} \)

- Elementary Matrix (기본 행렬)

elementary matrix란 elementary row operation을 matrix로 표현한 것을 의미합니다.

어떤 matrix에 elementary matrix를 left multiplication한 것이 elementary row operation을 한 것과 동일한 효과를 가집니다.

글로만 봐서는 무슨 뜻인지 이해하기 어려우실 테니, 예제를 가지고 설명해보도록 하겠습니다.

 

\(\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}
\end{bmatrix} \)

위의 matrix의 첫번째 행과 두번째 행을 바꾸는 'Interchange' operation을 적용하고자 할 때,

이를 아래와 같은 elementary matrix \(E\)를 left multiplication 한 것으로 나타낼 수 있습니다.

 

elementary matrix를 \(E = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \) 라고 하고, 이를 위의 matrix에 left multiplication한 경우

 

\(\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}
\end{bmatrix} \)

가 되어 elementary row operation중 'Interchage' operation이 적용된 것과 같음을 알 수 있습니다.

 

추가적으로, 세번째 행에 5를 곱하는 'Scailing' operation의 elementary matrix의 경우 아래와 같이 표현 가능하고,

 

\(E = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 5
\end{bmatrix} \)

\(\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 5
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
5\cdot a_{31} & 5\cdot a_{32} & 5\cdot a_{33} & 5\cdot a_{34}
\end{bmatrix} \)

첫번째 행에 4를 곱하여 세번째 행에 더한 'Replacement' operation의 elementary matrix는 아래와 같이 표현 가능합니다.

 

\(E = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
4 & 0 & 1
\end{bmatrix} \)

\(\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
4 & 0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
4\cdot a_{11} + a_{31} & 4\cdot a_{12} + a_{32} & 4\cdot a_{13} + a_{33} & 4\cdot a_{14} + a_{34}
\end{bmatrix} \)

 

또, 위의 예제들에서 알 수 있듯이 elementary matrix는 대응되는 elementary row operation을 identity matrix에 적용하여 얻어집니다.

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이 포스팅은 'linear algebra and its applications 5th edition'을 보고 공부한 내용을 정리하여 작성하였습니다.